变限积分求导公式

变限积分求导公式是微积分中的一个重要定理，它允许我们求出积分上限或下限为变量时的积分函数的导数。以下是变限积分求导公式的概述：

1. 变上限积分求导 ：

如果函数 \\（f（x）\\） 在区间 \\（[a, b]\\） 上连续，那么变上限积分函数 \\（\\Phi（x） = \\int_a^x f（t） dt\\），在 \\（[a, b]\\） 上可导，并且其导数 \\（\\Phi\'（x） = f（x）\\）。

2. 变下限积分求导 ：

如果函数 \\（f（x）\\） 在区间 \\（[a, b]\\） 上连续，函数 \\（\\phi（x）\\） 和 \\（\\varphi（x）\\） 可导，那么变下限积分函数 \\（\\Phi（x） = \\int_{\\phi（x）}^{\\varphi（x）} f（t） dt\\），的导数 \\（\\Phi\'（x）\\） 可以表示为：

\\[

\\Phi\'（x） = f[\\varphi（x）]\\varphi\'（x） - f[\\phi（x）]\\phi\'（x）

\\]

这个公式是应用牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理推导出来的。

3. 特殊情况下的求导 ：

当积分上限 \\（x\\） 在区间 \\（[a, b] \\） 上变动，且下限 \\（a\\） 为常数时，求导公式简化为 \\（f（x）\\）。

当积分下限 \\（b\\） 或上限 \\（a\\） 是变量时，求导需要使用更复杂的技巧，如换元法。

以上就是变限积分求导的基本公式和特殊情况下的应用。

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